Дисперсия — важный показатель, который используется для измерения разброса значений в выборке относительно их среднего значения. Она является одним из ключевых статистических показателей и используется в различных областях, начиная от физики и заканчивая экономикой и социологией. Формула дисперсии очень проста и понятна, однако многие задаются вопросом, почему в ней используется значение n-1 в знаменателе.
Для начала стоит отметить, что формула дисперсии имеет две различные версии: для генеральной совокупности и для выборки. В первом случае, когда известны значения всех элементов генеральной совокупности, знаменатель формулы будет равен n, где n — количество элементов в генеральной совокупности. Однако во многих практических случаях нам доступна только выборка из генеральной совокупности, а количество элементов в выборке обозначается как n. Именно для выборки используется формула дисперсии с знаменателем n-1.
Теперь встает вопрос, почему в знаменателе именно n-1? Ответ на этот вопрос связан с тем, что значение дисперсии, рассчитанное по выборке, является лишь оценкой дисперсии генеральной совокупности. Оценка дисперсии — это результат статистического анализа, который имеет свои особенности и предположения. Такая оценка должна быть несмещенной и состоятельной.
Почему в формуле дисперсии n-1
Применение поправки n-1 возникает из-за несмещенности выборочной дисперсии. Если бы использовалась формула выборочной дисперсии с поправкой n, то оценка дисперсии была бы смещенной вниз. То есть в среднем выборочная дисперсия была бы меньше истинной дисперсии.
Поправка n-1 позволяет устранить это смещение и получить несмещенную оценку дисперсии. Она обусловлена тем, что, чтобы получить оценку среднего значения выборки, нужно вычесть 1 степень свободы. Когда значения среднего и дисперсии оцениваются на основе выборки, доступно только (n-1) степеней свободы.
Таким образом, формула дисперсии n-1 является корректированной оценкой и позволяет получить более адекватную оценку дисперсии на основе имеющейся выборки.
История и применение
Формула дисперсии найдена Френсисом Гальтоном, известным английским ученым и пионером в области статистики и генетики, в конце XIX века. Он впервые предложил использовать дисперсию в качестве меры разброса значений в статистическом распределении.
Дисперсия является важным показателем в статистике, так как позволяет оценить, насколько сильно отклоняются данные от среднего значения. Она широко используется во многих областях, включая науку о материалах, экономику, физику, биологию и психологию.
В статистике, формула дисперсии n-1 используется для расчета выборочной дисперсии. Выборочная дисперсия используется, когда у нас есть только ограниченное количество данных и мы хотим оценить дисперсию во всей генеральной совокупности.
Формула n-1 включает поправку Бесселя, которая компенсирует несмещенность выборочной оценки дисперсии. Поправка Бесселя компенсирует тот факт, что выборочная дисперсия, рассчитанная на основе n элементов, будет немного меньше, чем истинная дисперсия в генеральной совокупности.
В целом, использование формулы дисперсии n-1 позволяет получить более точную оценку разброса значений в генеральной совокупности на основе ограниченного количества выборочных данных.
Роль n-1 в статистике
Однако, если мы вычислим дисперсию, используя n-1 вместо n, то мы учтем наличие неопределенности, связанной с использованием выборки. Формула с n-1 называется исправленной формулой дисперсии или несмещенной оценкой дисперсии. Она учитывает, что сама выборка может иметь свойство быть несмещенной и искать всю истинную дисперсию генеральной совокупности.
Таким образом, использование n-1 вместо n в формуле дисперсии позволяет нам получить более точную оценку разброса генеральной совокупности на основе выборочных данных.
Математическое обоснование
Обычно, для расчета дисперсии используется формула, в которой в знаменателе стоит число n — количество наблюдений. Однако, в статистической теории применяется поправка на степень свободы, и вместо n в знаменатель подставляется число n-1.
Математическое обоснование такой поправки состоит в том, что при оценке дисперсии по выборке мы используем выборочное среднее значение, которое служит оценкой неизвестного математического ожидания в генеральной совокупности. При этом, выборка содержит только часть данных из генеральной совокупности, поэтому выборочное среднее значение склонно недооценивать истинное математическое ожидание.
Использование поправки на степень свободы в формуле дисперсии позволяет учесть этот факт и получить более точную оценку дисперсии генеральной совокупности. Таким образом, замена n на n-1 в знаменателе формулы дисперсии является математически обоснованным и обеспечивает более точный результат при оценке разброса значений случайной величины.
Критика и альтернативы
Существуют альтернативные подходы к расчету дисперсии, не использующие формулу n-1. Например, одним из таких подходов является использование бутстрэп-метода. Бутстрэп-метод основан на многократном случайном выборе с возвращением из исходной выборки, создавая таким образом множество псевдослучайных выборок. Затем, по этим выборкам рассчитывается дисперсия, среднее значение которой является оценкой дисперсии исходной выборки.
Другим альтернативным подходом является использование формулы дисперсии n, а не n-1. Такой подход используется, например, в некоторых программных пакетах статистического анализа. Однако, в таком случае среднеквадратическое отклонение может быть недооценено, особенно если имеются выбросы в данных. В этом случае, лучше использовать альтернативные методы оценки дисперсии, например, бутстрэп-метод.
Преимущества использования n-1
Формула дисперсии, которая использует делитель n-1 вместо n, имеет ряд преимуществ по сравнению с формулой, использующей делитель n. Вот некоторые из них:
- Избегает смещения: Использование делителя n-1 компенсирует потенциальную ошибку, связанную с использованием стандартного отклонения на выборке. В случае использования n в формуле дисперсии, последняя может быть смещенной и недооцененной, особенно при работе с небольшими выборками. Делитель n-1 исправляет это смещение, делая оценку более точной и надежной.
- Соответствует принципу степени свободы: Понятие степени свободы является важным в статистике и отражает количество независимых значений, которые можно использовать для оценки параметров выборки. Использование делителя n-1 в формуле дисперсии соответствует этому принципу и учитывает количество степеней свободы, давая более точные оценки.
В итоге, использование делителя n-1 в формуле дисперсии повышает точность оценки и соответствует основным принципам статистики. Поэтому, при работе с выборками, особенно небольшими, рекомендуется использовать формулу дисперсии с делителем n-1.